Неравенством называется запись, в которой функции соединены знаком (или несколькими знаками) отношения ">", " g(x),
f(x) g(x), f(x) g(x) является всякое значение переменной x = a, при котором справедливо неравенство
f(a) > g(a), или функция f(x) при x = a принимает большее значение чем функция g(x).
Задание "решить неравенство" означает, что требуется найти множество всех его решений. Это множество может оказаться пустым — в случае, когда решений нет. Множество всех решений неравенства будем называть его ответом.
Неравенство В называется следствием неравенства А . если всякое решение А является решением неравенства В . В этом случае используется запись А В. Два неравенства А и В называются равносильными (или эквивалентными пишем
А В либо А
В) . если их ответы совпадают. Если А В и В А, то неравенства А и В эквивалентны.
Запись нескольких неравенств под знаком фигурной скобки называется системой (число и вид неравенств, входящих в систему, может быть произвольным). Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств. Двойное неравенство f(x) 1.
Теперь, решаем систему неравенств:
Вторая система равносильна неравенству x 1 и x g(x) и h(x) - любая функция определенная в ОДЗ данного неравенства, то f(x) + h(x) > g(x) + h(x)
2. Если обе части неравенства умножить на положительную функцию, определенную в ОДЗ данного неравенства (или на положительное число), то получим неравенство, равносильное исходному неравенству:
если f(x) > g(x) и h(x) > 0, то f(x)h(x) > g(x)h(x)
3. Если обе части неравенства умножить на отрицательную функцию, определенную в ОДЗ данного неравенства (или на отрицательное число) и знак неравенства изменить на противоположный, то полученное неравенство эквивалентно данному неравенству:
если f(x) > g(x) и h(x) g(x) и m(x) > h(x), то f(x) + m(x) > g(x) + h(x).
5.Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать если f(x) > g(x) и h(x) < m(x), то f(x) - h(x) < g(x) - m(x).
6. Неравенства одного смысла с положительными частями можно почленно умножать.
Если f(x) > g(x) > 0 и m(x) > h(x) > 0. то f(x) g(x) > m(x) h(x).
7. Неравенства, образованные неотрицательными функциями, можно почленно возводить в положительную степень:
если f(x) > g(x) > 0 и m > 0, то (f(x)) m > (g(x)) m .
Иногда, решая неравенство, приходится переходить к неравенству - следствию, т.е. выполнять неравносильное преобразование (как правило, связанные с расширением ОДЗ): заменить функцию f(x) — f(x) нулем, сократить неравенство f f(x)h
Пусть M – множество допустимых значений переменной х данного неравенства (ОДЗ). B – множество найденных решений неравенства. A множество решений данного неравенства. Тогда A = B M.
Пример 2 .Решить неравенство (1).
Решение.
Вычтем из обеих частей неравенства функцию получим неравенство 3х > 9.
Разделим обе части полученного неравенства на положительное число 3 в результате получим x > 3 (2). Выполнив это преобразование, мы заменили неравенство (1) неравенством (2). Эти неравенства не равносильны.(1)(2).
M = (- 8) (8 + )- ОДЗ неравенства (1).
B = (3 +) - это решение неравенства (2).
Найдем множество решений неравенства (1)
A = B M =((- 8)(8 + ) (3 +) = (3 8) (8 +),
Ответ: x(3 8) (8 +).
Метод интервалов
Метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 ( ) к решению уравнения f(x) = 0.
Метод заключается в следующем:
1. Находится ОДЗ неравенства.
2. Неравенство приводится к виду f(x) > 0( ) (т.е. правая часть переносится влево) и упрощается.
3. Решается уравнение f(x) = 0.
4. На числовой оМетод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (, <, ) к решению уравнения f(x) = 0.
Метод заключается в следующем:венство строгое, и закрашенных, если оно нестрогое.
5. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(х).
6. Ответ записывается в виде объединения отдельных множеств, на которых f
Метод интервалов основан на том, что непрерывная функция f(x) может изменить знак либо в граничных точках ОДЗ, где она "разрывается", либо проходя через ноль, т.е. в точках, являющиеся корнях уравнения f(x) = 0. Ни в каких других точках перемены знака не происходит.
Пример 3. Решить неравенство.
Решение.
ОДЗ: откуда имеем x[-1 5) (5 +)
Решим уравнение Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на чертеже (черным кружком, т.к. неравенство нестрогое), предварительно отметив ОДЗ:
Чтобы определить знак на промежутке (-1 5) возьмем число 0,
Чтобы определить знак на втором промежутке возьмем число 8,
Точки 0 и 8 выбирались произвольно, но так, чтобы упростить процесс вычисления каждого значения функции.
Ответ: (-5 +).
Пример 4. Решить неравенство
Решение.
Используя свойство частного и определение квадратного корня делаем вывод, что откуда ОДЗ: x(0 1) (1 7) (7 +)
Решим уравнение
x = 1.
На промежутке (01) возьмем точку 0,5
На промежутке (1 7) возьмем точку 4,
На промежутке (7 +) возьмем точку 9,
Расставим знаки на координатной прямой.
Таким образом, решением данного неравенства является множество чисел принадлежащих промежутку (0 1) (1 7)
Эти примеры наглядно демонстрируют, что промежутки знакопостоянства не обязательно чередуются, процесс определения знака на промежутке может оказаться довольно трудной задачей.
Полезно запомнить следующее.
Если функция представляет собой произведение нескольких не повторяющихся множителей, имеющих вид (ax + b), где a > 0, то знаки функции на промежутках справа на лево чередуются с плюса на минус. Если какой-то множитель повторяется четное число раз, то при переходе через эту точку смены знака не происходит. В примере №4 Такой точкой была точка 1
Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (> ), или меньше (< ) называются строгими. Со значками больше или равно (&ge ), меньше или равно (&le ) называются нестрогими. Значок не равно (&ne ) стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно. И мы порешаем.)
Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы.
Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 > 2 - верное неравенство. 5 < 2 - неверное.
Линейные, квадратные, дробные, показательные, тригонометрические и прочие неравенства решаются по-разному. На каждый вид - свой способ, свой специальный приём. Но! Все эти специальные приёмы можно применять только к некоему стандартному виду неравенства. Т.е. неравенство любого вида нужно сначала подготовить к применению своего способа.
Такая подготовка работает для неравенств любого вида и проста до ужаса.) Нужно, всего лишь, правильно выполнять два (всего два!) элементарных действия. Эти действия знакомы всем. Но, что характерно, косяки в этих действиях - и есть основная ошибка в решении неравенств, да. Стало быть, надо повторить эти действия. Называются эти действия вот как:
Тождественные преобразования неравенств.
Тождественные преобразования неравенств очень похожи на тождественные преобразования уравнений. Собственно, в этом и есть основная проблема. Отличия проскакивают мимо головы и. приехали.) Поэтому я особо выделю эти отличия. Итак, первое тождественное преобразование неравенств:
1. К обеим частям неравенства можно прибавить (отнять) одно и то же число, или выражение. Любое. Знак неравенства от этого не изменится.
На практике это правило применяется как перенос членов из левой части неравенства в правую (и наоборот) со сменой знака. Со сменой знака члена, а не неравенства! Правило один в один совпадает с правилом для уравнений. А вот следующие тождественные преобразования в неравенствах существенно отличается от таковых в уравнениях. Поэтому я выделяю их красным цветом:
2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число. На любое положительное число. Знак неравенства от этого не изменится.
3. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число. На любое отрицательное число. Знак неравенства от этого изменится на противоположный.
Вы помните (надеюсь. ), что уравнение можно умножать/делить на что попало. И на любое число, и на выражение с иксом. Лишь бы не на ноль. Ему, уравнению, от этого ни жарко, ни холодно.) Не меняется оно. А вот неравенства более чувствительны к умножению/делению.
Наглядный пример на долгую память. Напишем неравенство, не вызывающее сомнений:
Умножим обе части на +3, получим:
Возражения есть? Возражений нет.) А если умножим обе части исходного неравенства на -3, получим:
А это уже откровенная ложь.) Полное враньё! Обман народа! Но стоит изменить знак неравенства на противоположный, как всё становится на свои места:
Про враньё и обман - это я не просто так ругаюсь.) Забыл сменить знак неравенства. - это главная ошибка в решении неравенств. Это пустяковое и несложное правило стольких людей ушибло! Которые забыли. ) Вот и ругаюсь. Может, запомнится. )
Особо внимательные заметят, что неравенство нельзя умножать на выражение с иксом. Респект внимательным!) А почему нельзя? Ответ простой. Мы же не знаем знак этого выражения с иксом. Оно может быть положительное, отрицательное. Стало быть, мы не знаем, какой знак неравенства ставить после умножения. Менять его, или нет? Неизвестно. Разумеется, это ограничение (запрет умножения/деления неравенства на выражение с иксом) можно обойти. Если очень надо будет. Но это тема для других уроков.
Вот и все тождественные преобразования неравенств. Ещё раз напомню, что они работают для любых неравенств. А теперь можно переходить к конкретным видам.
Линейные неравенства. Решение, примеры.
Линейными неравенствами называются неравенства, в которых икс находится в первой степени и нет деления на икс. Типа:
Как решаются такие неравенства? Они решаются очень просто! А именно: с помощью тождественных преобразований неравенств сводим самое замороченное линейное неравенство прямо к ответу. Вот и всё решение. Главные моменты решения я буду выделять. Во избежание дурацких ошибок.)
Решаем это неравенство:
Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием:
Внимательно следим за знаком неравенства!
Первый шаг самый обычный. С иксами - влево, без иксов - вправо. Это первое тождественное преобразование, простое и безотказное.) Только знаки у переносимых членов не забываем менять.
Знак неравенства сохраняется:
Приводим подобные.
Знак неравенства сохраняется:
Осталось применить последнее тождественное преобразование: разделить обе части на -4.
Знак неравенства изменится на противоположный:
Это ответ.
Так решаются все линейные неравенства.
Если вы умеете решать линейные уравнения и осознали отличие в решении неравенств, проблем не будет. Если не умеете. Ссылочка для вас! А в этом уроке мы разбираемся чисто с неравенствами.)
Линейные неравенства на числовой оси.
Любой ответ линейного неравенства, типа х < 2, или х &ge -0,5 можно нарисовать на числовой оси. Честно говоря, для решения этот рисунок не требуется. И так всё решается. Но в решении более сложных заданий (системы неравенств, квадратные неравенства, метод интервалов) подобный рисунок становится главным помощником. Да и в ГИА встречаются задания с числовой осью.
Освоим темку, пока всё просто?) Нарисуем неравенство х < 2 на числовой оси. Рисуем ось и отмечаем на ней точку 2. Вот так:
Внимание! Точка 2 рисуется белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Это означает, что она в ответ не входит! Я её специально такой здоровой нарисовал. Такая точка (пустая, а не здоровая!)) в математике называется выколотой точкой.
Остальные числа на оси отмечать можно, но не нужно. Посторонние числа, не относящиеся к нашему неравенству, могут и запутать, да. Нужно только помнить, что увеличение чисел идёт по стрелке, т.е. числа 3, 4, 5, и т.д. находятся правее двойки, а числа 1, 0, -1 и т.д. - левее.
Неравенство х < 2 - строгое. Икс строго меньше двух. Если возникают сомнения, проверка простая. Подставляем сомнительное число в неравенство и размышляем: Два меньше двух? Нет, конечно! Именно так. Неравенство 2 < 2 неверное. Не годится двойка в ответ.
А единичка годится? Конечно. Меньше же. И ноль годится, и -17, и 0,34. Да все числа, которые меньше двух - годятся! И даже 1,9999. Хоть чуть чуть, да меньше!
Вот и отметим все эти числа на числовой оси. Как? Тут бывают варианты. Вариант первый - штриховка. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим, что заштрихована область всех иксов, подходящих под условие х < 2 . Вот и всё.
Второй вариант рассмотрим на втором примере:
Рисуем ось, отмечаем число -0,5. Вот так:
Заметили разницу?) Ну да, трудно не заметить. Эта точка - чёрная! Закрашенная. Это означает, что -0,5 входит в ответ. Здесь, кстати, проверка и смутить может кого-нибудь. Подставляем:
Как так? -0,5 никак не больше -0,5! А значок больше имеется.
Ничего страшного. В нестрогом неравенстве годится всё, что подходит под значок. И равно годится, и больше годится. Следовательно, -0,5 в ответ включается.
Итак, -0,5 мы отметили на оси, осталось ещё отметить все числа, которые больше -0,5. На этот раз я отмечаю область подходящих значений икса дужкой (от слова дуга ), а не штриховкой. Наводим курсор на рисунок и видим эту дужку.
Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Делайте, как учитель сказал. Если учителя нет - рисуйте дужки. В более сложных заданиях штриховка менее наглядна. Запутаться можно.
Вот так рисуются линейные неравенства на оси. Переходим к следующей особенности неравенств.
Запись ответа для неравенств.
В уравнениях было хорошо.) Нашли икс, да и записали ответ, например: х=3. В неравенствах существуют две формы записи ответов. Одна - в виде окончательного неравенства. Хороша для простых случаев. Например:
Это полноценный ответ.
Иногда требуется записать то же самое, но в другой форме, через числовые промежутки. Тогда запись начинает выглядеть очень научно):
х &isin (-&infin 2)
Под значком &isin скрывается слово принадлежит.
Читается запись так: икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до двух не включая . Вполне логично. Икс может быть любым числом из всех возможных чисел от минус бесконечности до двух. Двойкой икс быть не может, о чём нам и говорит слово не включая.
А где это в ответе видно, что не включая . Этот факт отмечается в ответе круглой скобкой сразу после двойки. Если бы двойка включалась, скобка была бы квадратной. Вот такой: ]. В следующем примере такая скобка используется.
Запишем ответ: х &ge -0,5 через промежутки:
х &isin [-0,5 +&infin)
Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.
Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.
Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но - именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.
Популярные задания с неравенствами.
Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо было. Это, если с непривычки, не очень приятно.) Но полезно. Покажу примеры таких заданий. Не для того, чтобы вы их выучили, это лишнее. А для того, чтобы не боялись при встрече с подобными примерами. Чуть подумать - и всё просто!)
Начнём? )
1. Найдите любые два решения неравенства 3х - 3 < 0
Если не очень понятно, что делать, вспоминаем главное правило математики:
Не знаешь, что нужно - делай, что можно!)
Здесь можно решить неравенство, а дальше уже думать. Решаем, получаем:
И что? Да ничего особенного. Что нас просят? Нас просят найти два конкретных числа, которые являются решением неравенства. Т.е. подходят под ответ. Два любых числа. Собственно, это и смущает.) Подходит парочка 0 и 0,5. Парочка -3 и -8. Да этих парочек бесконечное множество! Какой ответ правильный?!
Отвечаю: все! Любая парочка чисел, каждое из которых меньше единицы, будет правильным ответом. Пишите, какую хотите. Едем дальше.
2. Решить неравенство:
Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, - встречаются сплошь и рядом. Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака = ( равно ) ставить знак &ne ( не равно ). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:
В более сложных примерах, лучше поступать по-другому. Сделать из неравенства равенство. Вот так:
Спокойно решить его, как учили, и получить ответ:
х = 0,75
Главное, в самом конце, при записи окончательного ответа, не забыть, что мы нашли икс, который даёт равенство. А нам нужно - неравенство. Стало быть, этот икс нам как раз и не нужен.) И надо записать его с правильным значком:
При таком подходе получается меньше ошибок. У тех, кто уравнения на автомате решает. А тем, кто уравнения не решает, неравенства, собственно, ни к чему. ) Ещё пример популярного задания:
3. Найти наименьшее целое решение неравенства:
Сначала просто решаем неравенство. Ракрываем скобки, переносим, приводим подобные. Получаем:
Не так получилось. А за знаками следили. И за знаками членов, и за знаком неравенства.
Опять соображаем. Нам нужно найти конкретное число, подходящее и под ответ, и под условие наименьшее целое. Если сразу не осеняет, можно просто взять любое число и прикинуть. Два больше минус шести? Конечно! А есть подходящее число поменьше? Разумеется. Например, ноль больше -6. А ещё меньше? Нам же самое маленькое из возможных надо! Минус три больше минус шести! Уже можно уловить закономерность и перестать тупо перебирать числа, правда?)
Берём число поближе к -6. Например, -5. Ответ выполняется, -5 > - 6. Можно найти ещё число, меньше -5, но больше -6? Можно, например -5,5. Стоп! Нам сказано целое решение! Не катит -5,5! А минус шесть? Э-э-э! Неравенство строгое, минус 6 никак не меньше минус 6!
Стало быть, правильный ответ: -5.
Надеюсь, с выбором значения из общего решения всё понятно. Ещё пример:
4. Решить неравенство:
Во как! Такое выражение называется тройным неравенством. Строго говоря, это сокращённая запись системы неравенств. Но решать такие тройные неравенства всё равно приходится в некоторых заданиях. Оно решается безо всяких систем. По тем же тождественным преобразованиям.
Надо упростить, довести это неравенство до чистого икса. Но. Что куда переносить. Вот тут самое время вспомнить, что перенос влево-вправо, это сокращённая форма первого тождественного преобразования.
А полная форма звучит вот как: К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить/отнять любое число, или выражение.
Здесь три части. Вот и будем применять тождественные преобразования ко всем трём частям!
Итак, избавимся от единички в средней части неравенства. Отнимем от всей средней части единичку. Чтобы неравенство не изменилось, отнимем единичку и от оставшихся двух частей. Вот так:
Получим:
Уже лучше, правда?) Осталось разделить все три части на тройку:
Вот и всё. Это ответ. Икс может любым числом от двойки (не включая) до четвёрки (не включая). Этот ответ тоже записывается через промежутки, такие записи будут в квадратных неравенствах. Там они - самое обычное дело.
В конце урока повторю самое главное. Успех в решении линейных неравенств зависит от умения преобразовывать и упрощать линейные уравнения. Если при этом следить за знаком неравенства, проблем не будет. Чего я вам и желаю. Отсутствия проблем.)
Что такое квадратное неравенство? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак = (равно) на любой значок неравенства (> &ge < &le &ne ), получится квадратное неравенство. Например:
Ну, вы поняли. )
Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.
Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c . справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.
Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств. Прогуляйтесь по ссылке, если хотите узнать главную ошибку учеников при решении любых неравенств.) Там всё просто. Да и полезная информация по неравенствам имеется.
Решение квадратных неравенств. Примеры.
Квадратные неравенства можно решать двумя способами. Один способ - это метод интервалов. Великий и могучий! Годится для любых неравенств вообще! Ему будет посвящён отдельный урок. Здесь же мы разберём более простой способ с использованием парабол. Зачем из пушки по воробьям палить?) Способ годится только для решения квадратных неравенств. Но прост, очень нагляден и не требует никаких особых расчётов. Что, между прочим, резко уменьшает количество ошибок.
Решение будем разбирать на конкретных примерах. Сразу обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как написано далее. Любое решение состоит из трёх шагов. Первый пример я распишу очень подробно. Для понимания. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.)
Ну что, начнём?)
1. Решить неравенство:
Тема 4. Неравенства и системы неравенств
При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
Напомним свойства числовых неравенств.
1. Если а > b. то b < а наоборот, если а < b, то b > а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а < b и b < c, то а < c.
3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c < b – c). Т. е. к обеим частям неравенства можно прибавлять (или из них вычесть) одну и ту же величину.
4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.
Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d если а < b и c > d, то а – c < b – d, т.е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.
6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
7. Если а > b и c > d. где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а 2 > b 2. и если а < b, то а 2 < b 2. т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.
8. Если а > b, где а, b > 0, то и если а < b. то .
Виды неравенств и способы их решения
1. Линейные неравенства и системы неравенств
Пример 1. Решить неравенство .
Решение:
.
Пример 2. Решить систему неравенств
Решение:
.
Ответ: (– 2 0].
IV. Решение неравенств
Пусть функции и определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество . на котором значения одной из функций больше (меньше) значений другой из них, другими словами, найти все значения . для которых выполняется неравенство: > ( < ).
При такой постановке каждое из этих неравенств называется алгебраическим неравенством с неизвестным .
Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти все те значения неизвестной величины, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным. Поэтому естественно и для неравенств ввести понятия, аналогичные тем, которые мы ввели для уравнений.
Множество называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного неравенства.
Множество называется множеством решений данного неравенства.
Решить неравенство – значит найти множество всех . для которых данное неравенство выполняется.
Два неравенства называются равносильными. если множества решений их совпадают, т.е. если всякое решение каждого из них является решением другого.
Значение неизвестного называется допустимым для неравенства, если при этом значении обе части неравенства имеют смысл. Совокупность всех допустимых значений неизвестного называется областью определения неравенства.
Основные теоремы преобразования неравенства в равносильное ему:
· Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком
· Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то отличное от нуля положительное число если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный
· Если неравенство имеет вид или . то деление обеих его частей на . как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере решений.
Между решениями неравенств и уравнений много общего. Отличие же состоит в том, что решением неравенств чаще всего являются бесконечные множества.
Значит, сделать полную проверку ответа, как это делается для уравнений, нельзя. Поэтому очень важно при решении неравенств переходить только к равносильным неравенствам.
К равносильным неравенствам приводят тождественные преобразования, не изменяющие область допустимых значений.
IV. Решение неравенств 
